Número Par
Un número par es cualquier entero que es divisible exactamente entre 2, como 0, 2, 4, 6, y 8.
Formula
n = 2k \text{ for some integer } k
Definition
Un número par es cualquier número cabal que se puede dividir entre $2$ sin que sobre nada, terminando siempre en $0$, $2$, $4$, $6$, u $8$. Formalmente, un entero $n$ es par si $n = 2k$ para algún entero $k$, equivalentemente si $n \bmod 2 = 0$; el cero es par, y la suma, la diferencia, y el producto de dos números pares son siempre pares, al igual que el producto de un número par y cualquier entero. Algebraicamente, un entero par es cualquier elemento de la clase lateral $0 + 2\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$; la función de paridad $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (que envía $n$ a $n \bmod 2$) es un homomorfismo de anillos, y los enteros pares forman el ideal $2\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$.
Example
$4$, $16$, $28$, y $100$ son pares, ya que $4 / 2 = 2$ sin residuo, y cualquier número que termina en $4$ (como $3{,}874$) es par. Par + Par = Par ($4+6=10$), Par + Impar = Impar ($4+5=9$), Par $\times$ Par = Par ($4\times6=24$), y Par $\times$ Impar = Par ($4\times5=20$). En la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, la paridad es clave: si $p^2$ es par entonces $p$ es par (ya que un impar al cuadrado es impar), un paso que depende de la cerradura de los enteros pares bajo la multiplicación.
Key Insight
Los números pares siempre se pueden dividir en dos grupos iguales: si puedes emparejar todos los objetos, el total es par. Las reglas de paridad (par/impar) son un caso simple de aritmética módulo $2$, permitiéndote predecir la paridad de un resultado sin calcularlo, una comprobación útil en demostraciones. La paridad es el ejemplo no trivial más simple de una clase de equivalencia modular, y sus propiedades aritméticas ilustran todas las características clave de la aritmética modular y los homomorfismos en un entorno que los estudiantes pueden visualizar fácilmente; en cuerpos de característica $2$ (como $GF(2)$), la noción de paridad colapsa por completo, ya que todo elemento satisface $n + n = 0$.