等值比
děng zhí bǐ
等值比是表示数量之间相同关系的比，通过把两项同时乘以或除以同一个非零数得到。
Formula
a:b = (an):(bn) \text{ for any nonzero } n
Definition
等值比是表示相同关系的比，只是用不同的数字写出来，通过把两个数同时乘以或除以相同的值创造出来。形式上，两个比$a:b$和$c:d$等值当且仅当$a/b = c/d$，等价地当$ad = bc$时；比例关系中的每一个比都与其他每一个比等值，画出满足$y/x = k$的等值数对$(x,y)$会描出一条通过原点的直线$y = kx$。在$\mathbb{Q}$中，等值比构成等价类$[a:b] = \{(na):(nb) : n \in \mathbb{Q}, n \neq 0\}$，恰好是有理数的等价类；在射影空间$\mathbb{P}^1$中，这些等值比$[a:b]$成为齐次坐标，其中有意义的量是比本身，而不是单个的值。
Example
$2:3$与$4:6$、$6:9$和$10:15$等值；一个用$2$杯面粉配$3$杯糖的食谱可以加倍（$4:6$）、加三倍（$6:9$），或减半（$1:1.5$），全都是描述同一种"配比"的等值比。$3:5$的比率表列出$(3,5)$、$(6,10)$、$(9,15)$、$(12,20)$、$(15,25)$，每一行都共享相同的$y/x = 5/3$值，把两行相加，如$(3+6, 5+10) = (9,15)$，也会落在表中已有的一行上。在射影几何中，$[1:2]$、$[3:6]$和$[-2:-4]$都是同一个射影点，一旦加上无穷远点$[1:0]$，"直线"$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$在拓扑上就是一个圆。
Key Insight
等值比就像是两个事物之间比较所用的等值分数：尽管实际数字不同，它们都描述着同一种"配比"或"速率"。比率表是从图像上理解比例关系的入口，每一行都是直线$y = kx$上的一个点，利用等值比找出任何缺失值的能力，是代数中所有比例推理的基础。比的等价类视角把分数、比、比例式、单位比率和射影坐标统一成一个单一的代数概念，这正是从$\mathbb{Z}$构造出$\mathbb{Q}$所需的同一种概念飞跃，这一抽象代数中的基础思想，正是从最初等的分数事实开始的。