Razones Equivalentes
Las razones equivalentes son razones que expresan la misma relación entre cantidades, obtenidas al multiplicar o dividir ambos términos por el mismo número distinto de cero.
Formula
a:b = (an):(bn) \text{ for any nonzero } n
Definition
Las razones equivalentes muestran la misma relación, solo escritas con números distintos, creadas al multiplicar o dividir ambos números por el mismo valor. Formalmente, dos razones $a:b$ y $c:d$ son equivalentes si $a/b = c/d$, equivalentemente si $ad = bc$; toda razón en una relación proporcional es equivalente a cualquier otra, y graficar pares equivalentes $(x,y)$ donde $y/x = k$ traza la línea $y = kx$ que pasa por el origen. En $\mathbb{Q}$, las razones equivalentes forman clases de equivalencia $[a:b] = \{(na):(nb) : n \in \mathbb{Q}, n \neq 0\}$, exactamente las clases de equivalencia de los números racionales; en el espacio proyectivo $\mathbb{P}^1$, estas razones equivalentes $[a:b]$ se convierten en coordenadas homogéneas, donde la razón misma es la cantidad significativa, no los valores individuales.
Example
$2:3$ es equivalente a $4:6$, $6:9$, y $10:15$; una receta que usa $2$ tazas de harina por $3$ tazas de azúcar puede duplicarse ($4:6$), triplicarse ($6:9$), o reducirse a la mitad ($1:1.5$), todas razones equivalentes que describen la misma "mezcla". Una tabla de razones para $3:5$ enumera $(3,5)$, $(6,10)$, $(9,15)$, $(12,20)$, $(15,25)$, cada fila comparte el mismo valor de $y/x = 5/3$, y sumar dos filas, como $(3+6, 5+10) = (9,15)$, cae en otra fila ya presente en la tabla. En geometría proyectiva, $[1:2]$, $[3:6]$, y $[-2:-4]$ son todos el mismo punto proyectivo, siendo la "línea" $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ topológicamente un círculo una vez que se agrega el punto al infinito $[1:0]$.
Key Insight
Las razones equivalentes son como las fracciones equivalentes para comparaciones entre dos cosas: todas describen la misma "mezcla" o "tasa" aunque los números reales difieran. Las tablas de razones son la puerta de entrada para entender las relaciones proporcionales gráficamente, cada fila es un punto sobre la línea $y = kx$, y la capacidad de hallar cualquier valor faltante usando razones equivalentes es el fundamento de todo el razonamiento proporcional en álgebra. La perspectiva de clases de equivalencia sobre las razones unifica fracciones, razones, proporciones, tasas unitarias y coordenadas proyectivas en un solo concepto algebraico, el mismo salto conceptual que construye $\mathbb{Q}$ a partir de $\mathbb{Z}$, una idea fundamental en álgebra abstracta que comienza con los hechos más elementales sobre fracciones.