等边三角形
děng biān sān jiǎo xíng
等边三角形的三条边长度都相等，三个角都是 60 度。
Formula
\text{Area} = (\sqrt{3}/4)s^2; \text{all angles} = 60^\circ
Definition
等边三角形的三条边长度相等，三个角也相等，各为 $60^\circ$，在各个方向上都完全对称；它既是等边的(边相等)，也是等角的(角相等)，使其成为三边的正多边形。对于边长 $s$：面积 $= (\sqrt{3}/4)s^2$，高 $= (\sqrt{3}/2)s$，外接圆半径 $R = s/\sqrt{3}$，内切圆半径 $r = s/(2\sqrt{3})$，因此 $R = 2r$，这是等边三角形独有的性质。
Example
一个让行标志和三角力量标志都是等边三角形：如果每条边是 $5$ 厘米，三个角都恰好是 $60^\circ$。对于边长 $6$：高 $=(\sqrt{3}/2)(6)=3\sqrt{3}\approx5.2$，面积 $=(\sqrt{3}/4)(36)=9\sqrt{3}\approx15.6$，周长 $=18$。在复平面中，以原点为中心的等边三角形的顶点可以写成 $\{r, r\omega, r\omega^2\}$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$ 是一个本原三次单位根。
Key Insight
拥有三条对称轴，等边三角形从三个角看起来都一样，它是唯一同时也是正多边形的三角形；它还具有三重旋转对称性，能够无缝铺满平面，这在晶体学和设计中很重要。它是唯一(在相似意义下)在给定周长下面积最大的三角形，它与三次单位根的联系展示了几何对称性如何对应于代数结构，这一主题贯穿抽象代数，其中正多边形的对称群是循环群或二面体群。