Triángulo Equilátero
Un triángulo equilátero tiene los tres lados de igual longitud y los tres ángulos iguales a 60 grados.
Formula
\text{Area} = (\sqrt{3}/4)s^2; \text{all angles} = 60^\circ
Definition
Un triángulo equilátero tiene los tres lados de la misma longitud y los tres ángulos iguales, cada uno midiendo $60^\circ$, perfectamente simétrico en todas direcciones; es tanto equilátero (lados iguales) como equiángulo (ángulos iguales), lo que lo convierte en un polígono regular de tres lados. Para el lado de longitud $s$: área $= (\sqrt{3}/4)s^2$, altura $= (\sqrt{3}/2)s$, circunradio $R = s/\sqrt{3}$, e inradio $r = s/(2\sqrt{3})$, así que $R = 2r$, una propiedad exclusiva de los triángulos equiláteros.
Example
Una señal de ceda el paso y un símbolo Triforce son triángulos equiláteros: si cada lado mide $5$ cm, los tres ángulos son exactamente $60^\circ$. Para lado $6$: altura $=(\sqrt{3}/2)(6)=3\sqrt{3}\approx5.2$, área $=(\sqrt{3}/4)(36)=9\sqrt{3}\approx15.6$, perímetro $=18$. En el plano complejo, los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen se pueden escribir como $\{r, r\omega, r\omega^2\}$, donde $\omega = e^{2\pi i/3}$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad.
Key Insight
Con tres ejes de simetría, un triángulo equilátero se ve igual desde las tres esquinas, y es el único triángulo que también es un polígono regular; también tiene simetría rotacional de tres pliegues y tesela el plano sin huecos, algo importante en cristalografía y diseño. Es el único triángulo (salvo semejanza) que alcanza el área máxima para un perímetro dado, y su conexión con las raíces cúbicas de la unidad muestra cómo la simetría geométrica corresponde a la estructura algebraica, un tema recurrente en el álgebra abstracta, donde los grupos de simetría de los polígonos regulares son cíclicos o diedrales.