空集
kōng jí
空集是唯一一个不包含任何元素的集合,记作 {} 或 ∅。
Formula
\emptyset = \{\}
Definition
空集是一个什么都没有的集合，零个元素，就像一个空袋子：袋子存在，但里面什么都没装。记作 $\emptyset = \{\}$，它的基数是 $0$，是每一个集合的子集（$\emptyset \subseteq A$ 对所有 $A$ 都成立，这是空真的，因为没有任何元素会违反这个条件），并且是并集运算的单位元（$A \cup \emptyset = A$），而 $A \cap \emptyset = \emptyset$。在 ZFC 中，空集由空集公理保证存在（或由其他公理推出），并由外延公理保证唯一；在冯·诺依曼序数构造中，$0 = \emptyset$，$1 = \{\emptyset\}$，$2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$，依此类推，意味着所有自然数最终都是由空集构建出来的。
Example
所有大于 $2$ 的偶素数组成的集合是 $\emptyset$（一个都没有），有 $32$ 天的月份组成的集合也是如此。$A \cap B = \emptyset$ 意味着 $A$ 与 $B$ 不相交：例如，奇数和偶数没有任何共同的元素。幂集 $P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ 恰好有一个元素，而 $P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ 有两个元素，展示了迭代幂集运算如何构建出冯·诺依曼宇宙。
Key Insight
空集依然是一个集合：没有元素是一种完全有效的描述，是零在数学上的对应物。空真理正是 $\emptyset \subseteq A$ 总是成立的原因：命题"$\emptyset$ 的每个元素都在 $A$ 中"为真，是因为根本没有 $\emptyset$ 的元素需要检验。整个自然数系统都可以只用空集和幂集运算在集合论中编码出来，展示了公理化集合论的表达力。