Conjunto Vacío
El conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos, escrito como {} o ∅.
Formula
\emptyset = \{\}
Definition
El conjunto vacío es un conjunto sin nada dentro, cero elementos, como una bolsa vacía: la bolsa existe, pero no contiene nada. Escrito $\emptyset = \{\}$, tiene cardinalidad $0$, es subconjunto de todo conjunto ($\emptyset \subseteq A$ para todo $A$, verdadero de manera vacua ya que no hay elementos que violen la condición), y es el elemento identidad para la unión ($A \cup \emptyset = A$) mientras que $A \cap \emptyset = \emptyset$. En ZFC, el conjunto vacío está garantizado por el Axioma del Conjunto Vacío (o se deduce de otros axiomas) y es único por Extensionalidad; en la construcción ordinal de von Neumann, $0 = \emptyset$, $1 = \{\emptyset\}$, $2 = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, y así sucesivamente, lo que significa que todos los números naturales se construyen en última instancia a partir del conjunto vacío.
Example
El conjunto de todos los números primos pares mayores que $2$ es $\emptyset$ (no hay ninguno), al igual que el conjunto de todos los meses con $32$ días. $A \cap B = \emptyset$ significa que $A$ y $B$ son disjuntos: por ejemplo, los números impares y los pares no comparten elementos. El conjunto potencia $P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ tiene exactamente un elemento, y $P(\{\emptyset\}) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ tiene dos, mostrando cómo los conjuntos potencia iterados construyen el universo de von Neumann.
Key Insight
El conjunto vacío sigue siendo un conjunto: no tener elementos es una descripción perfectamente válida, el equivalente matemático del cero. La verdad vacua es la razón por la que $\emptyset \subseteq A$ siempre se cumple: el enunciado "todo elemento de $\emptyset$ está en $A$" es verdadero porque no hay elementos de $\emptyset$ que revisar. Todo el sistema de números naturales puede codificarse en la teoría de conjuntos usando solo el conjunto vacío y la operación de conjunto potencia, ilustrando el poder expresivo de la teoría de conjuntos axiomática.