消元法
xiāo yuán fǎ
消元法通过把方程相加或相减来消去一个变量，再求解剩下的变量，从而解出方程组。
Definition
消元法通过（在需要时先乘以常数后）把方程相加或相减来求解方程组，使某个变量的系数互为相反数从而抵消，只留下一个只含一个变量的方程，解出后再代回求另一个变量。当系数为整数且某个变量容易消去时，这种方法效果最好；当系数不能直接抵消时，先给一个或两个方程乘以适当的数，使目标系数符号相反且大小相等。消元法是求解 $Ax = b$ 时高斯消元法的算法基础：每一步都对应增广矩阵 $[A|b]$ 上的一次初等行变换，用行 $i + c \cdot (\text{row } j)$ 替换第 $i$ 行，把 $A$ 化简为行阶梯形，从而通过回代求出解；LU 分解将这一过程形式化，以提高计算效率。
Example
对于 $x + y = 8$ 与 $x - y = 2$，相加得到 $2x = 10$，所以 $x = 5$，$y = 3$。对于 $3x + 2y = 16$ 与 $5x - 2y = 0$，相加得到 $8x = 16$，所以 $x = 2$，$y = 5$。在矩阵形式中，方程组 $[[2,1],[4,3]][[x],[y]] = [[5],[11]]$ 通过行 $2 - 2 \cdot (\text{row } 1)$ 消去 $x$，得到 $[[2,1],[0,1]][[x],[y]] = [[5],[1]]$，由回代得 $y = 1$，$x = 2$。
Key Insight
消元法就像抵消相反数：如果一个方程中含有 $+y$，另一个含有 $-y$，两者相加时就会消失，只剩下一个变量待解。高斯消元法是这一思想的一般形式，对 $n$ 个方程运行时间为 $O(n^3)$；对于物理仿真中常见的大型稀疏方程组，共轭梯度法等专门算法利用其结构，运行速度快得多。