倍增时间
bèi zēng shí jiān
倍增时间是一个按指数增长的量翻倍所需要的时间长度。
Formula
T_d = \ln(2) / r
Definition
倍增时间是一个增长中的量变为原来两倍所需的时间，是半衰期在增长情形下的对应概念，和半衰期一样，它与起始量无关，是指数行为的标志性特征。对于指数增长 $A(t) = A_0 \cdot e^{rt}$，倍增时间满足 $A(T_d) = 2A_0$，从而 $T_d = \ln(2)/r \approx 0.693/r$；72 法则把它近似为 $T_d \approx 72/r\%$（对百分比利率而言）。倍增时间具有尺度不变性，从 $n$ 增长到 $2n$ 所需的时间等于从 $1$ 增长到 $2$ 所需的时间，这种自相似性是指数增长的一个决定性特征，并与几何级数的分形性质相联系；在生态学中，自然增长的内在速率 $r_m$ 与倍增时间的关系相同，$T_d = \ln(2)/r_m$。
Example
一座年增长率为 $10\%$ 的城市，按 72 法则大约每 $72/10 = 7.2$ 年翻一番，再过 $7.2$ 年再翻一番。一个年连续复利 $5\%$ 的银行账户，$T_d = \ln(2)/0.05 \approx 13.86$ 年，接近 72 法则的估计值 $72/5 = 14.4$ 年，所以一笔 $\$1{,}000$ 的存款约 $14$ 年后变成 $\$2{,}000$。摩尔定律历史上描述晶体管密度约每 $2$ 年翻倍，可以建模为 $A(t) = A_0 \cdot 2^{t/2}$，尽管物理极限如今已使这一趋势放缓。
Key Insight
72 法则是一种心算捷径：对于年利率为 $r\%$ 的复利，用 $72$ 除以 $r$ 就能估算翻倍所需的年数，所以年利率 $6\%$ 时资金 $12$ 年翻倍，年利率 $12\%$ 时 $6$ 年翻倍。倍增时间本质上是半衰期的反面：正如半衰期在衰减情形下与起始量无关，倍增时间在增长情形下同样与起始量无关。