Tiempo de Duplicación
El tiempo de duplicación es el tiempo que tarda una cantidad en crecimiento exponencial en duplicar su tamaño.
Formula
T_d = \ln(2) / r
Definition
El tiempo de duplicación es cuánto tarda una cantidad en crecimiento en volverse el doble de grande, la contraparte de crecimiento de la vida media, y al igual que la vida media es constante sin importar la cantidad inicial, el sello distintivo del comportamiento exponencial. Para el crecimiento exponencial $A(t) = A_0 \cdot e^{rt}$, el tiempo de duplicación satisface $A(T_d) = 2A_0$, dando $T_d = \ln(2)/r \approx 0.693/r$, y la Regla del 72 aproxima esto como $T_d \approx 72/r\%$ para tasas porcentuales. El tiempo de duplicación es invariante a escala, el tiempo para pasar de $n$ a $2n$ es igual al tiempo de $1$ a $2$, una autosimilitud que es una característica definitoria del crecimiento exponencial y se conecta con la naturaleza fractal de las progresiones geométricas; en ecología, la tasa intrínseca de aumento natural $r_m$ se relaciona con el tiempo de duplicación de la misma manera, $T_d = \ln(2)/r_m$.
Example
Una ciudad con $10\%$ de crecimiento poblacional anual se duplica aproximadamente cada $72/10 = 7.2$ años según la Regla del 72, duplicándose de nuevo $7.2$ años después. Una cuenta bancaria que gana $5\%$ de interés continuo anual tiene $T_d = \ln(2)/0.05 \approx 13.86$ años, cerca de la estimación de la Regla del 72 de $72/5 = 14.4$ años, así que un depósito de $\$1{,}000$ se convierte en $\$2{,}000$ en aproximadamente $14$ años. La Ley de Moore describía históricamente un tiempo de duplicación de aproximadamente $2$ años para la densidad de transistores, modelado como $A(t) = A_0 \cdot 2^{t/2}$, aunque los límites físicos han desacelerado desde entonces la tendencia.
Key Insight
La Regla del 72 es un atajo de cálculo mental: para el interés compuesto al $r\%$, dividir $72$ entre $r$ estima los años para duplicarse, así que al $6\%$ el dinero se duplica en $12$ años y al $12\%$ en $6$ años. El tiempo de duplicación es esencialmente la vida media a la inversa, y así como la vida media es constante sin importar la cantidad inicial para el decaimiento, el tiempo de duplicación es constante sin importar la cantidad inicial para el crecimiento.