除法
chú fǎ
除法是把一个量分成若干相等组，或求一个数能装入另一个数多少次的算术运算。
Formula
\text{dividend} / \text{divisor} = \text{quotient} \ (+ \text{remainder})
Definition
除法是指把一个数平均分成若干组，或求出一个数能被另一个数整除多少次，用除号（/ 或 ÷）表示。$a$ 除以 $b$（$b \neq 0$）得到商 $q$（对整数而言还有余数 $r$），满足 $a = b \times q + r$ 且 $0 \le r < b$；对实数而言，$a / b = a \times (1/b)$，而除以零没有意义。在域 $F$ 中，除法被定义为乘以乘法逆元，即对 $b \neq 0$，$a / b = a \cdot b^{-1}$：域正是每个非零元素都存在乘法逆元的环，这就是为什么 $\mathbb{Z}$ 是环却不是域（因为 $1/2$ 不是整数），而 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 都是域。
Example
$12 / 4 = 3$ 表示把 $12$ 平均分成 $4$ 组，每组 $3$ 个，或者说 $4$ 恰好能装入 $12$ 中 $3$ 次；除法是乘法的逆运算，所以若 $3 \times 4 = 12$，则 $12 / 4 = 3$ 且 $12 / 3 = 4$。$23 / 5 = 4$ 余 $3$ 是整数除法的结果（$23 = 5 \times 4 + 3$），作为实数除法则为 $23 / 5 = 4.6$；注意除法既不满足交换律也不满足结合律。在 $\mathbb{Z}_7$（模 $7$ 的整数）中：由于 $5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod 7$，$5$ 的逆元是 $3$，所以 $3 / 5 = 3 \cdot 3 = 9 \equiv 2 \pmod 7$。
Key Insight
长除法正是带余除法的直接应用：每一步都要找出除数能装入当前部分被除数多少次，记录下商的这一位数字，再求出新的余数。求最大公约数的欧几里得算法完全建立在这种反复求余的过程之上，而由于每个欧几里得整环都支持这一过程，它们都共享一个关键性质：每个理想都是主理想。