整除性
zhěng chú xìng
整除性是指一个整数能被另一个整数整除且不留余数的性质，整除规则提供了检验这一性质的捷径。
Formula
a \text{ is divisible by } b \text{ if } a = b \times k \text{ for some integer } k
Definition
一个数能被另一个数整除，是指两者相除没有余数；形式上，若存在整数 $k$ 使得 $a = bk$，则称 $a$ 能被 $b$ 整除（记作 $b \mid a$）。整除规则提供了无需实际做除法就能快速判断的技巧：能被 $2$ 整除（末位是偶数）、能被 $3$ 整除（各位数字之和能被 $3$ 整除）、能被 $4$ 整除（末两位能被 $4$ 整除）、能被 $5$ 整除（末位是 $0$ 或 $5$）、能被 $9$ 整除（各位数字之和能被 $9$ 整除）、能被 $11$ 整除（交替数字和能被 $11$ 整除），这些规则都源自 $10 = 9+1$（因此 $10^k \equiv 1 \pmod 9$）以及 $10 = 11-1$（因此 $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$）这两个事实。在 $\mathbb{Z}$ 中，整除关系定义了一个偏序：$b \mid a$ 当且仅当作为理想 $b\mathbb{Z}$ 包含 $a\mathbb{Z}$，这使得 $\mathbb{Z}^+$ 在最大公约数（"交"）和最小公倍数（"并"）下构成一个分配格；在任意整环中，整除关系是一个预序，在唯一分解整环中则细化为一个格。
Example
一个数如果末位是 $0$、$2$、$4$、$6$ 或 $8$，就能被 $2$ 整除，所以 $348$ 能被 $2$ 整除；一个数如果末位是 $0$ 或 $5$，就能被 $5$ 整除。$2{,}346$ 能被 $6$ 整除吗？它必须同时能被 $2$ 和 $3$ 整除：末位 $6$ 确认了能被 $2$ 整除，数字和 $2+3+4+6=15$ 确认了能被 $3$ 整除，所以答案是能。对于像 $7$ 这样没有简单规则的质数，可以反复运用 $2a_0 - b$（其中 $b$ 是去掉末位后剩下的数字，$a_0$ 是末位数字）直到结果足够小：对 $343$，$34 - 2(3) = 28$，能被 $7$ 整除，所以 $343 = 7^3$ 也能被 $7$ 整除。
Key Insight
整除规则能节省时间：你只需把 $3+1+2=6$ 相加，就能判断 $312$ 能被 $3$ 整除，因为 $6$ 能被 $3$ 整除。$\mathbb{Z}$ 中的整除关系是理想理论的出发点；戴德金的洞见在于，在代数整数环中，唯一的质理想分解能够恢复因元素唯一分解失效而丧失的整除结构。