Divisibilidad
La divisibilidad es la propiedad de que un entero se divide entre otro sin dejar residuo; las reglas de divisibilidad ofrecen atajos para comprobarlo.
Formula
a \text{ is divisible by } b \text{ if } a = b \times k \text{ for some integer } k
Definition
Un número es divisible entre otro si al dividirlos no queda residuo; formalmente, $a$ es divisible entre $b$ (escrito $b \mid a$) si existe un entero $k$ tal que $a = bk$. Las reglas de divisibilidad ofrecen atajos rápidos para comprobar esto sin dividir: entre $2$ (último dígito par), entre $3$ (suma de dígitos divisible entre $3$), entre $4$ (últimos dos dígitos divisibles entre $4$), entre $5$ (termina en $0$ o $5$), entre $9$ (suma de dígitos divisible entre $9$), y entre $11$ (suma alternante de dígitos divisible entre $11$), reglas que se derivan del hecho de que $10 = 9+1$ (así que $10^k \equiv 1 \pmod 9$) y $10 = 11-1$ (así que $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$). En $\mathbb{Z}$, la divisibilidad define un orden parcial, $b \mid a$ si y solo si $b\mathbb{Z}$ contiene a $a\mathbb{Z}$ como ideales, haciendo de $\mathbb{Z}^+$ un retículo distributivo bajo el MCD (ínfimo) y el MCM (supremo); en cualquier dominio íntegro la divisibilidad es un preorden, refinándose a un retículo en un UFD.
Example
Un número es divisible entre $2$ si termina en $0$, $2$, $4$, $6$, o $8$, así que $348$ es divisible entre $2$; un número es divisible entre $5$ si termina en $0$ o $5$. ¿Es $2{,}346$ divisible entre $6$? Debe ser divisible entre $2$ y entre $3$: el último dígito $6$ confirma la divisibilidad entre $2$, y la suma de dígitos $2+3+4+6=15$ confirma la divisibilidad entre $3$, así que sí. Para primos sin una regla simple, como $7$, se aplica repetidamente $2a_0 - b$ (donde $b$ son los dígitos restantes y $a_0$ el último dígito) hasta que sea pequeño: para $343$, $34 - 2(3) = 28$, que es divisible entre $7$, así que $343 = 7^3$ también lo es.
Key Insight
Las reglas de divisibilidad ahorran tiempo: puedes saber que $312$ es divisible entre $3$ con solo sumar $3+1+2=6$, y como $6$ es divisible entre $3$, también lo es $312$. La relación de divisibilidad en $\mathbb{Z}$ es el punto de partida para la teoría de ideales; la idea de Dedekind fue que en anillos de enteros algebraicos, la factorización única en ideales primos restaura la estructura de divisibilidad perdida por el fallo de la factorización única de elementos.