分数除法
fēn shù chú fǎ
分数除法是把第一个分数乘以第二个分数的倒数。
Formula
\left(\frac{a}{b}\right) \div \left(\frac{c}{d}\right) = \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{d}{c}\right) = \frac{ad}{bc}
Definition
要除以一个分数，保留第一个分数不变，把除号改成乘号，再把第二个分数颠倒（取它的倒数），这种方法常被称为"保持-变号-翻转"。形式上，分数的除法定义为乘以倒数：$(a/b)/(c/d) = (a/b) \times (d/c) = ad/(bc)$，前提是$c \neq 0$，这来自除法是乘法的逆运算这一定义。在域$F$中，除法定义为$a/b = a \cdot b^{-1}$（$b \neq 0$）；除法在域公理中不是基本运算，它是由乘法及乘法逆元的存在性推导出来的。
Example
$3/4 \div 1/2$：保留$3/4$不变，把$\div$改成$\times$，把$1/2$翻转成$2/1$，得$3/4 \times 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1$又$1/2$。类似地，$(5/6)/(10/9) = (5/6) \times (9/10) = 45/60 = 3/4$（验证：$(10/9) \times (3/4) = 30/36 = 5/6$）。同样的法则也适用于繁分数：$((x+1)/x)/((x^2-1)/x^2) = ((x+1)/x) \times (x^2/(x^2-1)) = x^2(x+1)/(x(x+1)(x-1)) = x/(x-1)$（当$x \notin \{0, 1, -1\}$时）。
Key Insight
除以$1/2$等同于乘以$2$，得到的结果是原来的两倍，除以一个小于$1$的分数总会得到更大的答案：你实际上是在问"我的量里能装下多少个半份？" "保持-变号-翻转"法则并不是魔法，它是除法定义的直接推论：无论何时你问"$B$能在$A$中装多少次"，你得到的都是$A/B = A \times (1/B)$，也就是乘以倒数。这也与$\mathbb{Q}$的有序域结构相关：如果$0 < c/d < 1$，那么$d/c > 1$，所以乘以$d/c$会增大数值，这解释了为什么除以一个小分数会使结果增大。