División de Fracciones
Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción.
Formula
\left(\frac{a}{b}\right) \div \left(\frac{c}{d}\right) = \left(\frac{a}{b}\right) \times \left(\frac{d}{c}\right) = \frac{ad}{bc}
Definition
Para dividir entre una fracción, mantén la primera fracción, cambia el signo de división por multiplicación, y voltea la segunda fracción (usa su recíproco), un método a menudo llamado "mantener, cambiar, voltear". Formalmente, la división de fracciones se define como la multiplicación por el recíproco: $(a/b)/(c/d) = (a/b) \times (d/c) = ad/(bc)$, siempre que $c \neq 0$, lo cual se deriva de la definición de la división como el inverso de la multiplicación. En un cuerpo $F$, la división se define como $a/b = a \cdot b^{-1}$ para $b \neq 0$; la división no es una operación primitiva en los axiomas de cuerpo, se deriva de la multiplicación y de la existencia de inversos multiplicativos.
Example
$3/4 \div 1/2$: mantén $3/4$, cambia $\div$ por $\times$, voltea $1/2$ a $2/1$, dando $3/4 \times 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1$ y $1/2$. De manera similar, $(5/6)/(10/9) = (5/6) \times (9/10) = 45/60 = 3/4$ (comprobación: $(10/9) \times (3/4) = 30/36 = 5/6$). La misma regla maneja fracciones complejas: $((x+1)/x)/((x^2-1)/x^2) = ((x+1)/x) \times (x^2/(x^2-1)) = x^2(x+1)/(x(x+1)(x-1)) = x/(x-1)$ para $x \notin \{0, 1, -1\}$.
Key Insight
Dividir entre $1/2$ es lo mismo que multiplicar por $2$, terminas con el doble, y dividir entre una fracción menor que $1$ siempre da un resultado mayor: en realidad estás preguntando "¿cuántas medias piezas caben en mi cantidad?" La regla de mantener-cambiar-voltear no es magia, es una consecuencia directa de la definición de la división: cada vez que preguntas "¿cuántas veces cabe $B$ en $A$?", obtienes $A/B = A \times (1/B)$, la multiplicación por el recíproco. Esto también se conecta con la estructura de cuerpo ordenado de $\mathbb{Q}$: si $0 < c/d < 1$, entonces $d/c > 1$, así que multiplicar por $d/c$ aumenta el valor, lo que explica por qué dividir entre una fracción pequeña aumenta el resultado.