距离公式
jù lí gōng shì
距离公式利用勾股定理计算坐标平面上两点之间的直线距离。
Formula
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Definition
距离公式给出坐标平面上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的直线距离：把x坐标相减，把y坐标相减，两个差都平方，相加后再开平方根，$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。这其实就是勾股定理的另一种形式，水平差和竖直差是那个隐形直角三角形的两条直角边，距离则是斜边；这个公式是对称的，$d(A,B) = d(B,A)$，因为平方运算抹去了相减的符号。严格地说，它定义了 $\mathbb{R}^2$ 上的欧几里得度量，$d(p, q) = |p - q| = \sqrt{\sum (p_i - q_i)^2}$，满足正定性、对称性和三角不等式，这可以推广到 $n$ 维，成为 $d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2}$。
Example
$(1, 2)$ 和 $(4, 6)$ 之间的距离为 $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ 个单位。点 $A(-3, 1)$ 和 $B(5, 7)$ 给出 $d = \sqrt{(5-(-3))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ 个单位，这个公式可以用来验证三点是否构成等腰或等边三角形、求圆的半径，以及用坐标证明几何性质。$\mathbb{R}^2$ 上的其他度量包括出租车（曼哈顿）度量 $d_1(p,q) = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$ 和切比雪夫度量 $d_\infty(p,q) = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)$，它们定义了不同的"单位圆"：欧几里得圆、出租车菱形和切比雪夫正方形。
Key Insight
相减的顺序从不影响结果，因为在相加之前差值已经被平方。度量空间把距离公式推广到抽象场景：柯西序列、完备性和连续性都是用度量来定义的，这使得距离公式成为泛函分析和拓扑学的具体起点。