Fórmula de la Distancia
La fórmula de la distancia calcula la distancia en línea recta entre dos puntos del plano cartesiano usando el teorema de Pitágoras.
Formula
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Definition
La fórmula de la distancia da la distancia en línea recta entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ en un plano cartesiano: resta las coordenadas x, resta las coordenadas y, eleva al cuadrado ambas diferencias, súmalas, y toma la raíz cuadrada, $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Esto es simplemente el teorema de Pitágoras disfrazado, con las diferencias horizontal y vertical como los dos catetos y la distancia como la hipotenusa de un triángulo rectángulo invisible; la fórmula es simétrica, $d(A,B) = d(B,A)$, ya que elevar al cuadrado elimina el signo de la resta. Formalmente, define la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^2$, $d(p, q) = |p - q| = \sqrt{\sum (p_i - q_i)^2}$, satisfaciendo positividad, simetría y la desigualdad triangular, lo cual se extiende a $n$ dimensiones como $d(p, q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (p_i - q_i)^2}$.
Example
La distancia entre $(1, 2)$ y $(4, 6)$ es $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ unidades. Los puntos $A(-3, 1)$ y $B(5, 7)$ dan $d = \sqrt{(5-(-3))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ unidades, y la fórmula puede usarse para verificar si tres puntos forman un triángulo isósceles o equilátero, para hallar radios de círculos, y para probar propiedades geométricas usando coordenadas. Métricas alternativas en $\mathbb{R}^2$ incluyen la métrica del taxista (Manhattan) $d_1(p,q) = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$ y la métrica de Chebyshev $d_\infty(p,q) = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)$, que definen "círculos unitarios" diferentes: un círculo euclidiano, un diamante del taxista y un cuadrado de Chebyshev.
Key Insight
El orden de la resta nunca importa, ya que las diferencias se elevan al cuadrado antes de sumarse. Los espacios métricos generalizan la fórmula de la distancia a entornos abstractos: las sucesiones de Cauchy, la completitud y la continuidad se definen todas en términos de métricas, convirtiendo la fórmula de la distancia en el punto de partida concreto del análisis funcional y la topología.