判别式
pàn bié shì
判别式 $(b^2 - 4ac)$ 决定了一个二次方程有两个实数解、一个实数解，还是没有实数解。
Formula
D = b^2 - 4ac
Definition
判别式是求根公式中平方根下面的表达式，$D = b^2 - 4ac$，它能在不完全求解的情况下告诉你二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有多少个实数解：$D > 0$ 时有两个不同的实根，$D = 0$ 时有一个重根（二重根），$D < 0$ 时有一对复共轭根，没有实数解。当 $D$ 是完全平方数且 $a$、$b$、$c$ 都是整数时，根是有理数。更一般地，$n$ 次多项式 $f$ 的判别式是关于其复根 $r_i$ 的表达式 $\Delta(f) = a_n^{2n-2} \prod_{i < j} (r_i - r_j)^2$（对二次式化简为 $b^2 - 4ac$，对三次式 $x^3 + px + q$ 化简为 $-4p^3 - 27q^2$）；它恰好为零当且仅当 $f$ 有重根，等价地说当且仅当 $\gcd(f, f')$ 不是常数。
Example
对 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 而言，$D = 16 - 16 = 0$：一个解。对 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 而言，$D = 25 - 24 = 1 > 0$：两个解。对 $2x^2 + 3x + 5 = 0$ 而言，$D = 9 - 40 = -31 < 0$：没有实数解，抛物线 $y = 2x^2 + 3x + 5$ 完全位于 x 轴上方。对 $x^3 - 3x + 2 = 0$ 而言，三次判别式为 $-4(-3)^3 - 27(2)^2 = 108 - 108 = 0$，证实了 $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ 中可见的重根。
Key Insight
判别式为正意味着有 $2$ 个实数解，为零意味着有 $1$ 个，为负意味着有 $0$ 个，这样你在求解之前就能预判解的个数，这使判别式成为二次方程的关键诊断工具（在现实建模中，$D < 0$ 意味着所建模的情形永远不会真正归零）。判别式是 $f$ 系数的一个多项式，且在域扩张下保持不变：在任何包含这些系数的域中 $\Delta(f) = 0$，当且仅当 $f$ 在代数闭包中有重根，这使它成为伽罗瓦理论与代数数论中的一个基本工具。