Definition

El discriminante es la expresión bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, $D = b^2 - 4ac$, e indica cuántas soluciones reales tiene una cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ sin resolverla por completo: $D > 0$ da dos raíces reales distintas, $D = 0$ da una raíz repetida (doble), y $D < 0$ da dos raíces complejas conjugadas, sin soluciones reales. Cuando $D$ es un cuadrado perfecto y $a$, $b$, $c$ son enteros, las raíces son racionales. De manera más general, el discriminante de un polinomio de grado $n$, $f$, es $\Delta(f) = a_n^{2n-2} \prod_{i < j} (r_i - r_j)^2$ sobre sus raíces complejas $r_i$ (que se reduce a $b^2 - 4ac$ para una cuadrática y a $-4p^3 - 27q^2$ para una cúbica $x^3 + px + q$); es cero exactamente cuando $f$ tiene una raíz repetida, equivalentemente cuando $\gcd(f, f')$ no es constante.