离散数据
lí sàn shù jù
离散数据由可数的值组成，两个值之间不存在其他可能取值，例如一个班级的学生人数。
Definition
离散数据由彼此分离、可计数的值组成，值与值之间存在间隔：你可以列出所有可能的取值，不存在"介于两者之间"的值。它取有限或可数个不同的值，通常是整数，用条形图或点图而非带有连续柱形的直方图来可视化。形式上，离散随机变量 $X$ 取值于一个可数集合 $\{x_1, x_2, \ldots\}$，其概率质量函数为 $p(x_i) = P(X=x_i)$，满足 $\sum p(x_i) = 1$；主要的离散分布包括二项分布 $B(n,p)$、泊松分布（$\lambda$）、几何分布（$p$）和负二项分布，生成函数（概率生成函数、矩生成函数）便于计算各阶矩。
Example
一个家庭养的宠物数量（$0$、$1$、$2$、$3, \ldots$）是离散的，因为你不可能有 $1.7$ 只宠物，一场足球比赛中的进球数也是离散的。每小时进入商店的顾客数量（$0$、$1$、$2, \ldots$）同样是离散的，适合用泊松分布（用于计数）或二项分布（用于成功/失败计数）来建模。泊松分布（$\lambda=3$）模型用于顾客到达，给出 $P(X=k) = e^{-3} \cdot 3^k / k!$，其均值和方差都是 $3$，这是泊松分布的一个标志性特征。
Key Insight
如果你能数它，并且不存在介于两者之间的值，它就是离散的；数一个句子里的单词数就得到离散数据。离散分布使用概率质量函数（PMF），所有 PMF 值之和等于 $1$。当 $n$ 很大、$p$ 很小且 $np = \lambda$ 保持固定时，泊松分布是二项分布 $B(n,p)$ 的极限，把这两种最常见的计数模型联系了起来。