间断点
jiàn duàn diǎn
间断点是函数出现断裂、跳跃或孔洞的位置,使你无法不抬笔就画出图形。
Definition
间断点是图形上出现孔洞、跳跃或垂直缺口的位置，也就是函数出现故障或表现异常的地方。间断点主要有三种类型：可去间断（极限存在，但 $f(a)$ 缺失或取值不对，形成一个孔洞）、跳跃间断（左右极限都存在但不相等）、以及本质间断或无穷间断（至少有一个单侧极限不存在有限值，通常是因为函数无界增长或在该点附近振荡）。
Example
如果出租车计价器在 $1$ 英里以内显示 $\$5$，然后在 $1.01$ 英里处瞬间跳到 $\$8$，那么在 $1$ 英里处就出现了跳跃间断。代数上：$f(x) = (x^2-1)/(x-1)$ 在 $x=1$ 处是可去间断，$\lfloor x \rfloor$ 在每个整数处都是跳跃间断，而 $f(x) = 1/x$ 在 $x=0$ 处是无穷间断。更极端的例子是 $f(x) = \sin(1/x)$ 在 $x = 0$ 附近：它无限次振荡，因此两个单侧极限都不存在，这使它成为本质间断。
Key Insight
间断点标示出数学模型可能无法反映平滑、真实世界变化的地方，判断类型能告诉你这个断点是可以"修补"的（可去）还是函数行为本身固有的。这种分类是黎曼可积函数的勒贝格刻画的基础：$f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积当且仅当它的间断点集合的测度为零。