Discontinuidad
Una discontinuidad es un punto donde una función se rompe, salta o tiene un agujero, lo que hace imposible dibujarla sin levantar el lápiz.
Definition
Una discontinuidad es un lugar en una gráfica donde hay un agujero, un salto o un hueco vertical, un punto donde la función se rompe o se comporta de forma inesperada. Hay tres tipos principales: evitable (un agujero donde el límite existe pero $f(a)$ falta o es incorrecto), de salto (los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son distintos), y esencial o infinita (al menos un límite lateral no existe de forma finita, a menudo porque la función crece sin límite u oscila cerca del punto).
Example
Si el taxímetro marca $\$5$ hasta $1$ milla y luego salta instantáneamente a $\$8$ para $1.01$ millas, hay una discontinuidad de salto en $1$ milla. Algebraicamente: $f(x) = (x^2-1)/(x-1)$ en $x=1$ es evitable, $\lfloor x \rfloor$ en cada entero es un salto, y $f(x) = 1/x$ en $x=0$ es infinita. Un caso más extremo es $f(x) = \sin(1/x)$ cerca de $x = 0$: oscila infinitas veces, así que ningún límite lateral existe, lo que la convierte en una discontinuidad esencial.
Key Insight
Las discontinuidades marcan los lugares donde un modelo matemático podría no reflejar un cambio suave del mundo real, e identificar el tipo indica si la ruptura puede "repararse" (evitable) o es fundamental al comportamiento de la función. Esta clasificación sustenta la caracterización de Lebesgue de las funciones integrables Riemann: $f$ es integrable Riemann en $[a,b]$ si y solo si su conjunto de discontinuidades tiene medida cero.