正比关系
zhèng bǐ guān xì
正比关系描述两个量以恒定比率同增同减的关系，可表示为y = kx。
Formula
y = kx \text{ (}k\text{ is the constant of variation)}
Definition
正比关系意味着当一个量增加时，另一个量按相同的比例增加，当一个量减少时，另一个也随之减少，它们朝着同一方向共同变化。形式上，正比关系（正比例）是关系$y = kx$，其中$k$（变化常数）非零：对所有非零$x$都有$y/x = k$，图像是一条通过原点、斜率为$k$的直线，$x$翻倍则$y$也翻倍。这是一维线性映射，是同时满足可加性和$f(cx) = cf(x)$的$1$次齐次函数；更一般地，$y$与$x^n$成正比意味着$y = kx^n$（$n$次正比关系），这是物理学中常见的幂律单项式关系。
Example
如果你每小时挣$\$12$，你的工资与工作时长成正比：$1$小时是$\$12$，$2$小时是$\$24$，$3$小时是$\$36$，工作时长翻倍则工资也翻倍。检验数据$(2, 8)$、$(5, 20)$、$(7, 28)$：比值$y/x$在每种情况下都是$4$，所以$y=4x$是$k=4$的正比关系。单摆的周期$T$与摆长的平方根成正比：$T = 2\pi\sqrt{L/g}$，形式为$T = k\sqrt{L}$的正比关系，所以摆长$L$翻倍会使$T$乘以$\sqrt{2} \approx 1.414$，而不是$2$。
Key Insight
"正比"意味着它们朝着同一方向一起变化：工作时长更多，工资更多；工作时长更少，工资更少，工资/工作时长的比值永远不变。正比关系的图像总是通过原点，这就是为什么像华氏度转摄氏度这样呈线性但不成比例的关系，与胡克定律（$F=kx$）这种真正的正比关系是不同的。幂律形式的正比关系$y \sim x^n$在物理学中随处可见（万有引力$\sim 1/r^2$，动能$\sim v^2$），双对数图能把幂律关系线性化（$\log y = n\log x + \log k$），使指数$n$成为斜率，这是在实验数据中识别幂律关系的关键工具。