Variación Directa
La variación directa describe una relación en la que dos cantidades aumentan o disminuyen juntas a una tasa constante, expresada como y = kx.
Formula
y = kx \text{ (}k\text{ is the constant of variation)}
Definition
La variación directa significa que cuando una cantidad sube, la otra sube en la misma proporción, y cuando una baja, la otra también baja, se mueven juntas en la misma dirección. Formalmente, la variación directa (proporción directa) es una relación $y = kx$ donde $k$ (la constante de variación) es distinta de cero: $y/x = k$ para todos los $x$ distintos de cero, la gráfica es una línea que pasa por el origen con pendiente $k$, y duplicar $x$ duplica $y$. Este es un mapa lineal unidimensional, una función homogénea de grado $1$ que satisface tanto la aditividad como $f(cx) = cf(x)$; de manera más general, "$y$ varía directamente como $x^n$" significa $y = kx^n$ (variación directa de grado $n$), una relación de ley de potencia monomial común en toda la física.
Example
Si ganas $\$12$ por hora, tu salario varía directamente con las horas trabajadas: $1$ hr es $\$12$, $2$ hrs son $\$24$, $3$ hrs son $\$36$, duplicar las horas duplica el salario. Comprobar los datos $(2, 8)$, $(5, 20)$, $(7, 28)$: la razón $y/x$ es $4$ en todos los casos, así que $y=4x$ es variación directa con $k=4$. El periodo $T$ de un péndulo simple varía directamente como la raíz cuadrada de su longitud $L$: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, variación directa de la forma $T = k\sqrt{L}$, así que duplicar $L$ multiplica $T$ por $\sqrt{2} \approx 1.414$, no por $2$.
Key Insight
"Directa" significa que van juntas en la misma dirección: más horas, más salario, menos horas, menos salario, y la razón salario/horas nunca cambia. Las gráficas de variación directa siempre pasan por el origen, razón por la cual una relación lineal como la conversión de Fahrenheit a Celsius, relacionada linealmente pero no proporcionalmente, es diferente de la ley de Hooke ($F=kx$), que es variación directa genuina. La variación directa de tipo ley de potencia $y \sim x^n$ aparece en toda la física (fuerza gravitacional $\sim 1/r^2$, energía cinética $\sim v^2$), y las gráficas log-log linealizan las leyes de potencia ($\log y = n\log x + \log k$), haciendo del exponente $n$ la pendiente, una herramienta clave para identificar relaciones de ley de potencia en datos experimentales.