位似变换
wèi shì biàn huàn
位似变换以一个中心点为基准，按缩放因子调整图形大小，得到一个更大或更小的相似图形。
Formula
P' = C + k(P - C)
Definition
位似变换把一个图形按一个固定中心点，将所有距离乘以一个缩放因子来重新调整大小：$D(C, k)$ 把每个点 $P$ 映射到 $P' = C + k(P - C)$，当 $k > 1$ 时放大图形，$0 < k < 1$ 时缩小图形，同时保持所有角度不变，产生一个相似图形。当 $k > 0$ 时，像与原像位于 $C$ 的同一侧；当 $k < 0$ 时位于相反两侧。严格地说，位似变换是线性部分为标量矩阵 $kI$ 的仿射映射，是比值为 $|k|$ 的相似变换；它把距离按 $|k|$ 缩放，把面积按 $k^2$ 缩放，用复数表示时，以 $z_0$ 为中心的位似变换是 $f(z) = k(z - z_0) + z_0 = kz + (1-k)z_0$。
Example
把点 $(2, 3)$ 从原点按缩放因子 $4$ 位似得到 $(8, 12)$，即把每个坐标都乘以 $4$；一个顶点为 $(1,1)$、$(2,1)$、$(1,3)$ 的三角形从原点按因子 $2$ 位似变为 $(2,2)$、$(4,2)$、$(2,6)$。把顶点为 $A(2,4)$、$B(6,4)$、$C(4,8)$ 的三角形以原点为中心按缩放因子 $1/2$ 位似，得到 $A'=(1,2)$、$B'=(3,2)$、$C'=(2,4)$，大小减半，所有边的比例为 $1:2$。复合两个位似变换 $D(C_1, k_1)$ 和 $D(C_2, k_2)$，当 $k_1 k_2 = 1$ 时得到一个平移；当 $k_1 k_2 \neq 1$ 时，结果是一个新中心的位似变换，可以通过不动点分析求出。
Key Insight
位似变换会改变图形的大小，但绝不改变它的形状：像恒与原像相似，所有角度相等，所有边按相同因子缩放。以原点为中心的位似变换只是把两个坐标都乘以 $k$，是最容易计算的情形；对于中心不在原点的位似变换，先把中心平移到原点，位似后再平移回去。这种不动点分析是竞赛几何中"螺旋相似"技巧的基础，因为任意两个相似且方向相同的三角形都可以通过一个位似变换复合一个旋转来联系起来。