Dilatación
Una dilatación cambia el tamaño de una figura según un factor de escala desde un punto central, produciendo una figura semejante más grande o más pequeña.
Formula
P' = C + k(P - C)
Definition
Una dilatación redimensiona una figura multiplicando todas las distancias desde un punto central fijo por un factor de escala: $D(C, k)$ transforma cada punto $P$ en $P' = C + k(P - C)$, ampliando la figura si $k > 1$ y encogiéndola si $0 < k < 1$, mientras preserva todos los ángulos y produce una figura semejante. Para $k > 0$ la imagen y la preimagen están en el mismo lado de $C$; para $k < 0$, en lados opuestos. Formalmente, una dilatación es una aplicación afín con parte lineal $kI$ (matriz escalar), una transformación de semejanza con razón $|k|$; escala las distancias por $|k|$ y las áreas por $k^2$, y en notación compleja una dilatación centrada en $z_0$ es $f(z) = k(z - z_0) + z_0 = kz + (1-k)z_0$.
Example
Dilatar el punto $(2, 3)$ desde el origen por un factor de escala $4$ da $(8, 12)$, multiplicando cada coordenada por $4$; un triángulo con vértices $(1,1)$, $(2,1)$, $(1,3)$ dilatado desde el origen por un factor de $2$ se convierte en $(2,2)$, $(4,2)$, $(2,6)$. Dilatar un triángulo con vértices $A(2,4)$, $B(6,4)$, $C(4,8)$ por un factor de escala $1/2$ centrado en el origen da $A'=(1,2)$, $B'=(3,2)$, $C'=(2,4)$, la mitad de grande con todos los lados en razón $1:2$. Componer dilataciones $D(C_1, k_1)$ y $D(C_2, k_2)$ con $k_1 k_2 = 1$ da una traslación; con $k_1 k_2 \neq 1$, el resultado es una dilatación con un nuevo centro hallado mediante análisis de puntos fijos.
Key Insight
Una dilatación cambia el tamaño de una figura pero nunca su forma: la imagen siempre es semejante al original, con todos los ángulos iguales y todos los lados escalados por el mismo factor. Las dilataciones centradas en el origen simplemente multiplican ambas coordenadas por $k$, el caso más fácil de calcular; para dilataciones centradas en otro lugar, traslada el centro al origen, dilata, y luego traslada de vuelta. Este análisis de puntos fijos subyace a la técnica de "semejanza en espiral" en geometría de competencia, ya que dos triángulos semejantes con la misma orientación siempre están relacionados por una dilatación compuesta con una rotación.