数字
shù zì
数字是十进制记数系统中用来书写数的十个符号（0-9）中的任意一个。
Definition
数字是我们用来书写数的十个符号之一：$0$、$1$、$2$、$3$、$4$、$5$、$6$、$7$、$8$、$9$；每一个数都是由这十个数字组成的。更一般地，在基数为 $10$ 的位值记数系统中，每个数字的值取决于它在数码中的位置（位值），一个正整数 $n$ 的数字个数为 $\lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1$。推广到任意进制 $b$，数字就是集合 $\{0, 1, \ldots, b-1\}$ 中的任一元素，而数码 $d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0$ 在 $b$ 进制下的值等于 $d_k \cdot b^k$（$k$ 从 $0$ 到 $n$）之和。
Example
数 $472$ 有三个数字：$4$、$7$、$2$；数 $1{,}000$ 有四个数字。在 $3{,}058$ 中：数字 $3$ 位于千位（表示 $3{,}000$），$0$ 位于百位，$5$ 位于十位（表示 $50$），$8$ 位于个位（表示 $8$）。整除规则正是直接由这些位值推导而来：一个数能被 $9$ 整除，当且仅当它各位数字之和能被 $9$ 整除，例如 $729$：$7+2+9=18$，而 $18/9=2$，验证了 $729 / 9 = 81$。
Key Insight
正如英文字母表的 $26$ 个字母能拼出所有英文单词，$10$ 个数字也能组成我们数系中的所有数。"数字"（digit）一词源自拉丁文"digitus"（手指），因为人类历史上曾用手指计数；不同进制使用不同的数字集合：二进制只用 $\{0,1\}$，十六进制使用 $\{0\text{-}9, A\text{-}F\}$。选择以 $10$ 为基数是出于生理原因，而非数学原因：若采用以 $12$ 为基数（十二进制），判断能否被 $3$ 和 $4$ 整除会像十进制中判断能否被 $2$ 和 $5$ 整除一样容易。