差
chā
差是从一个数中减去另一个数所得到的结果。
Formula
a - b = \text{difference}
Definition
差是从一个数中减去另一个数所得到的结果，$a - b$，它与顺序有关：一般来说 $a - b$ 不等于 $b - a$。绝对差 $|a - b|$ 衡量的是与顺序无关的距离，且始终非负。在有限差分学中，差分算子 $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$ 是导数的离散类比，满足与微分学同样形式的线性法则和乘积法则，这使得分部求和（分部积分的离散类比）等技巧成为可能。
Example
在 $9 - 3 = 6$ 中，差是 $6$；差告诉你两个数相隔多远，所以 $9$ 和 $3$ 在数轴上相隔 $6$ 步。$15 - 8 = 7$，而 $|-3 - 5| = |-8| = 8$ 展示了绝对差的应用。$\Delta(n^2) = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$，求和可得 $\sum_{k=1}^{n} \Delta(k^2) = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n$，这验证了前 $n$ 个奇数之和等于 $n^2$。
Key Insight
在解决"多多少"或"少多少"这类问题时，绝对差让你无需担心哪个数更大。有限差分在数值分析中被用来近似求导，在组合数学中被用来计算多项式数列的和：这种离散导数几乎在每一个基本定理上都与连续微积分相呼应。