Diferencia
La diferencia es el resultado de restar un número de otro.
Formula
a - b = \text{difference}
Definition
La diferencia es la respuesta que obtienes al restar un número de otro, $a - b$, y depende del orden: $a - b$ generalmente no es igual a $b - a$. La diferencia absoluta $|a - b|$ mide la distancia sin importar el orden y siempre es no negativa. En el cálculo de diferencias finitas, el operador diferencia $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$ es el análogo discreto de la derivada, satisfaciendo la linealidad y la regla del producto en la misma forma que el cálculo diferencial, lo cual permite técnicas como la suma por partes (el análogo discreto de la integración por partes).
Example
En $9 - 3 = 6$, la diferencia es $6$; la diferencia te dice qué tan separados están dos números, así que $9$ y $3$ están a $6$ pasos de distancia en la recta numérica. $15 - 8 = 7$, mientras que $|-3 - 5| = |-8| = 8$ muestra la diferencia absoluta en acción. $\Delta(n^2) = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$, y sumando se obtiene $\sum_{k=1}^{n} \Delta(k^2) = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n$, confirmando que la suma de los primeros $n$ números impares es igual a $n^2$.
Key Insight
Al resolver problemas de "cuánto más" o "cuánto menos", la diferencia absoluta elimina la necesidad de preocuparse por cuál número es mayor. Las diferencias finitas se usan en el análisis numérico para aproximar derivadas y en la combinatoria para calcular sumas de sucesiones polinómicas: la derivada discreta refleja el cálculo continuo en casi todos sus teoremas fundamentales.