平方差
píng fāng chā
平方差模式指出，$a^2 - b^2$ 可分解为 $(a + b)(a - b)$，适用于多项式是一个完全平方数减去另一个完全平方数的情形。
Formula
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Definition
平方差模式指出，一个完全平方数减去另一个完全平方数，总能分解为一个带加号和一个带减号的二项式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对任意表达式 $a$ 和 $b$ 都成立，因为展开后产生的中间项互为相反数而相互抵消。两项都必须是完全平方数且用减法连接；平方和 $a^2 + b^2$ 在实数范围内不能这样分解，但在复数范围内可以分解为 $(a + bi)(a - bi)$，因为 $a^2 + b^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约，但在 $\mathbb{C}$ 上可以分解为一对复共轭因式。这一恒等式本身在任何交换环中都成立，而像 $x^2 + b^2$ 这样的"平方和"在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 中是否能分解，取决于 $-b^2$ 是否是模素数 $p$ 的二次剩余。
Example
$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$，因为 $9 = 3^2$；验证：$(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$。$25x^2 - 16 = (5x + 4)(5x - 4)$，$4x^4 - 9y^2 = (2x^2 + 3y)(2x^2 - 3y)$。在 $\mathbb{Z}_5$ 中，$x^2 + 1 = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$，因为 $-1 = 4 \pmod{5}$ 且 $4 = 2^2$，所以这个"平方和"在此可以分解，因为 $-1$ 是模 $5$ 的二次剩余。
Key Insight
中间项之所以总能抵消，是因为 $(a+b)(a-b)$ 使用了完全相同的两项，只是符号相反，这也是像 $x^2 + 16$ 这样的平方和在实数范围内无法这样分解的原因。$-1$ 是否是模素数 $p$ 的二次剩余，决定了 $x^2 + 1$ 是否能在 $\mathbb{Z}_p[x]$ 中分解，这把这一初等模式与二次互反律，以及哪些素数在高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 中分裂联系了起来。