Diferencia de Cuadrados
El patrón de la diferencia de cuadrados establece que $a^2 - b^2$ se factoriza como $(a + b)(a - b)$, aplicable siempre que un polinomio sea un cuadrado perfecto menos un cuadrado perfecto.
Formula
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Definition
El patrón de la diferencia de cuadrados dice que un cuadrado perfecto menos un cuadrado perfecto siempre se factoriza en dos binomios con un signo más y uno menos: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, para cualesquiera expresiones $a$ y $b$, ya que los términos medios producidos al multiplicar son opuestos y se cancelan. Ambos términos deben ser cuadrados perfectos separados por una resta; una suma de cuadrados $a^2 + b^2$ no se factoriza de esta manera sobre los números reales, aunque sí lo hace sobre los números complejos como $(a + bi)(a - bi)$, ya que $a^2 + b^2$ es irreducible sobre $\mathbb{R}$ pero se factoriza en factores complejos conjugados sobre $\mathbb{C}$. La identidad misma se cumple en cualquier anillo conmutativo, y si una "suma de cuadrados" como $x^2 + b^2$ se factoriza en $\mathbb{Z}_p[x]$ depende de si $-b^2$ es un residuo cuadrático módulo el primo $p$.
Example
$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ ya que $9 = 3^2$; comprobando, $(x+3)(x-3) = x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$. $25x^2 - 16 = (5x + 4)(5x - 4)$, y $4x^4 - 9y^2 = (2x^2 + 3y)(2x^2 - 3y)$. En $\mathbb{Z}_5$, $x^2 + 1 = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, ya que $-1 = 4 \pmod{5}$ y $4 = 2^2$, así que la "suma de cuadrados" se factoriza allí porque $-1$ es un residuo cuadrático módulo $5$.
Key Insight
Los términos medios siempre se cancelan porque $(a+b)(a-b)$ usa los mismos dos términos con solo un cambio de signo, razón por la cual una suma de cuadrados como $x^2 + 16$ se resiste a este tipo de factorización sobre los reales. Si $-1$ es un residuo cuadrático módulo un primo $p$ determina si $x^2 + 1$ se factoriza en $\mathbb{Z}_p[x]$, conectando este patrón elemental con la reciprocidad cuadrática y con qué primos se descomponen en los enteros gaussianos $\mathbb{Z}[i]$.