直径
zhí jìng
直径是穿过圆心的一条弦，等于半径的两倍，是圆中最长的弦。
Formula
d = 2r; \text{Circumference} = \pi d
Definition
直径是从圆的一侧穿过圆心到另一侧的一条直线，总是半径的两倍，$d=2r$，也是该圆最长的弦；周长 $=\pi d$。直径将圆分成两个半圆，根据泰勒斯定理，内接于半圆(以直径为弦)的任何角总是直角。严格来说，直径等于闭圆盘在度量空间意义下的直径，$\text{diam}(D)=\sup\{d(x,y):x,y\in D\}=2r$，这一概念在黎曼几何中推广为流形上测地距离的上确界。
Example
直径为 $12$ 英寸的披萨半径为 $6$ 英寸；沿圆心切一刀就是切出一条直径。对于直径 $14$：半径 $=7$，周长 $=14\pi\approx44.0$，面积 $=49\pi\approx153.9$，如果 $AB$ 是直径，$C$ 是圆上任意其他一点，那么角 $ACB=90^\circ$，由泰勒斯定理。$\mathbb{R}^{n+1}$ 中单位 $n$ 维球面的直径为 $2$，博内-迈尔斯定理指出，当流形的截面曲率至少为 $k>0$ 时，其直径受 $\pi/\sqrt{k}$ 的限制。
Key Insight
泰勒斯定理，即半圆上的内接角总是 $90^\circ$，是圆周角定理的一个特殊情形，因为直径所对的圆心角是 $180^\circ$，而内接角总是它的一半；这也是为什么任何直角三角形的斜边都是其外接圆的直径。博内-迈尔斯定理把曲率与直径联系起来，说明正曲率会迫使空间紧致并具有有限的直径，宇宙学家曾用这一原理来推断宇宙的大尺度几何是有限还是无限的。