Diámetro
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de un círculo, igual al doble del radio y la cuerda más larga del círculo.
Formula
d = 2r; \text{Circumference} = \pi d
Definition
El diámetro es una línea recta de un lado de un círculo al otro que pasa exactamente por el centro, siempre el doble del radio, $d=2r$, y la cuerda más larga posible del círculo; circunferencia $=\pi d$. Un diámetro divide un círculo en dos semicírculos, y por el Teorema de Tales, cualquier ángulo inscrito en un semicírculo (con el diámetro como su cuerda) siempre es un ángulo recto. Formalmente, el diámetro es igual al diámetro del disco cerrado en el sentido del espacio métrico, $\text{diam}(D)=\sup\{d(x,y):x,y\in D\}=2r$, una noción que se generaliza en la geometría de Riemann al supremo de las distancias geodésicas en una variedad.
Example
Una pizza con un diámetro de $12$ pulgadas tiene un radio de $6$ pulgadas; cortar una pizza justo por el centro hace un corte de diámetro. Para el diámetro $14$: radio $=7$, circunferencia $=14\pi\approx44.0$, área $=49\pi\approx153.9$, y si $AB$ es un diámetro con $C$ cualquier otro punto del círculo, el ángulo $ACB=90^\circ$ por el teorema de Tales. El diámetro de la $n$-esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n+1}$ es $2$, y el teorema de Bonnet-Myers acota el diámetro de una variedad por $\pi/\sqrt{k}$ cuando su curvatura seccional es al menos $k>0$.
Key Insight
El teorema de Tales, que un ángulo inscrito sobre un semicírculo siempre es $90^\circ$, es un caso especial del teorema del ángulo inscrito, ya que el ángulo central subtendido por un diámetro es $180^\circ$ y el ángulo inscrito siempre es la mitad de eso; esto también es la razón por la cual la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia circunscrita. El teorema de Bonnet-Myers conecta la curvatura con el diámetro, mostrando que la curvatura positiva obliga a la compacidad y a un diámetro finito, un principio que los cosmólogos han usado para razonar si la geometría a gran escala del universo es finita o infinita.