对角线
duì jiǎo xiàn
对角线是连接多边形中两个不相邻顶点的线段。
Formula
\text{Number of diagonals} = n(n-3)/2 \text{ (for an } n\text{-gon)}
Definition
对角线是在多边形内部连接两个不相邻角点的直线，穿过内部而不是构成一条边。一个 $n$ 边形有 $n(n-3)/2$ 条对角线，其求法是从 $n$ 个顶点中任选 $2$ 个($C(n,2)=n(n-1)/2$ 条线段)，再减去 $n$ 条边。对角线将凸多边形分割成三角形(三角剖分)，一个 $n$ 边形分成 $(n-2)$ 个三角形，凸 $n$ 边形不同三角剖分的数目等于卡塔兰数 $C(n-2)$。
Example
正方形有 $2$ 条对角线在中间相交，矩形的对角线将其分成两个三角形；电视屏幕尺寸是以对角线来测量的。五边形有 $5(5-3)/2=5$ 条对角线，六边形有 $6(6-3)/2=9$ 条；正方形的对角线是 $s\sqrt{2}$。从一个顶点将六边形三角剖分需要用 $4$ 条对角线创建 $4$ 个三角形($n-2$)，凸六边形不同三角剖分的总数是卡塔兰数 $C(4)=14$。
Key Insight
对角线有助于测量一个图形的跨度，矩形的对角线是其内部最长的距离。在特殊四边形中，正方形的对角线相等、垂直且互相平分，菱形的对角线垂直，矩形的对角线相等。计数多边形三角剖分的卡塔兰数也出现在组合数学的括号化、二叉树和投票问题中，说明一个简单的几何计数问题如何通向广阔的组合数学天地。