Diagonal
Una diagonal es un segmento de recta que conecta dos vértices no adyacentes de un polígono.
Formula
\text{Number of diagonals} = n(n-3)/2 \text{ (for an } n\text{-gon)}
Definition
Una diagonal es una línea recta trazada dentro de un polígono que conecta una esquina con otra que no está justo al lado, cruzando el interior en lugar de formar un lado. Un $n$-gono tiene $n(n-3)/2$ diagonales, obtenidas al elegir cualesquiera $2$ de $n$ vértices ($C(n,2)=n(n-1)/2$ segmentos) y restar los $n$ lados. Las diagonales dividen un polígono convexo en triángulos (triangulación), un $n$-gono en $(n-2)$ triángulos, y el número de triangulaciones distintas de un $n$-gono convexo es igual al número de Catalan $C(n-2)$.
Example
Un cuadrado tiene $2$ diagonales que se cruzan en el centro, y la diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos; los tamaños de las pantallas de televisión se miden como diagonales. Un pentágono tiene $5(5-3)/2=5$ diagonales, un hexágono $6(6-3)/2=9$; la diagonal de un cuadrado es $s\sqrt{2}$. Triangular un hexágono desde un vértice usa $4$ diagonales para crear $4$ triángulos ($n-2$), y el número total de triangulaciones distintas de un hexágono convexo es el número de Catalan $C(4)=14$.
Key Insight
Las diagonales ayudan a medir a través de una figura, la diagonal de un rectángulo es la distancia más larga dentro de él. En cuadriláteros especiales, las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares, y se bisecan mutuamente, las de un rombo son perpendiculares, y las de un rectángulo son iguales. Los números de Catalan, que cuentan triangulaciones de polígonos, también aparecen en toda la combinatoria en paréntesis, árboles binarios, y problemas de recuento de votos, mostrando cómo una simple pregunta de conteo geométrico abre paso a un vasto panorama combinatorio.