行列式
háng liè shì
行列式是由一个方阵计算出的标量值,它蕴含了该矩阵是否可逆以及所代表变换的缩放系数等信息。
Formula
\det\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = ad - bc
Definition
行列式是从一个方阵计算出来的单个数；对于 $2\times 2$ 矩阵 $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，它是 $\det(A) = ad - bc$，行列式为 $0$ 意味着这个矩阵没有逆矩阵。关键性质：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$、$\det(A^T) = \det(A)$、$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$，一个矩阵可逆当且仅当 $\det(A) \neq 0$；对 $3\times 3$ 及更大的矩阵，使用代数余子式展开法。严格地说，$\det: M_n(F) \to F$ 是列（或行）上唯一的交替多重线性形式，且 $\det(I) = 1$，在代数闭域上等于特征值的乘积；莱布尼茨公式给出 $\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod a_{i,\sigma(i)}$，从几何上看，$\det(A)$ 是 $A$ 作用在最高外幂 $\Lambda^n(F^n)$ 上的伸缩系数。
Example
$\det\begin{bmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{bmatrix} = (3)(4) - (1)(2) = 10$，而 $\det\begin{bmatrix}2 & 6\\1 & 3\end{bmatrix} = 6 - 6 = 0$，说明这个矩阵没有逆矩阵。沿第 $1$ 行展开 $\det\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 4 & 5\\1 & 0 & 6\end{bmatrix}$ 得到 $1(24) - 2(-5) + 3(-4) = 22$。范德蒙德行列式，$\det\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \ldots\\1 & x_2 & x_2^2 & \ldots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{bmatrix} = \prod_{i<j} (x_j - x_i)$，被用于多项式插值、数值分析和代数几何。
Key Insight
可以把 $2\times 2$ 行列式看作由两个行向量构成的平行四边形的面积：如果这个面积是 $0$，说明这两个向量平行，变换把平面压缩成一条直线；更一般地，$|\det(A)|$ 度量体积被缩放的程度，符号则表示方向，$\det(A) = 0$ 意味着变换压缩了某个维度。行列式的符号是把各行排序所需置换的奇偶性，把线性代数与对称群 $S_n$ 联系起来，交替性质（交换两行使行列式变号）编码了变换是保持方向还是反转方向。