Determinante
El determinante es un valor escalar calculado a partir de una matriz cuadrada que codifica información sobre la invertibilidad de la matriz y el factor de escala de la transformación que representa.
Formula
\det\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} = ad - bc
Definition
El determinante es un solo número calculado a partir de una matriz cuadrada; para una matriz $2\times 2$ $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$, es $\det(A) = ad - bc$, y un determinante de $0$ significa que la matriz no tiene inversa. Propiedades clave: $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(A^T) = \det(A)$, $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$, y una matriz es invertible si y solo si $\det(A) \neq 0$; para matrices $3\times 3$ y mayores se usa la expansión por cofactores. Formalmente, $\det: M_n(F) \to F$ es la única forma multilineal alternante sobre las columnas (o filas) con $\det(I) = 1$, igual al producto de los valores propios sobre un cuerpo algebraicamente cerrado; la fórmula de Leibniz da $\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod a_{i,\sigma(i)}$, y geométricamente $\det(A)$ es el escalar por el cual $A$ actúa sobre la potencia exterior superior $\Lambda^n(F^n)$.
Example
$\det\begin{bmatrix}3 & 1\\2 & 4\end{bmatrix} = (3)(4) - (1)(2) = 10$, mientras que $\det\begin{bmatrix}2 & 6\\1 & 3\end{bmatrix} = 6 - 6 = 0$, indicando que esa matriz no tiene inversa. Expandiendo $\det\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\0 & 4 & 5\\1 & 0 & 6\end{bmatrix}$ a lo largo de la fila $1$ se obtiene $1(24) - 2(-5) + 3(-4) = 22$. El determinante de Vandermonde, $\det\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \ldots\\1 & x_2 & x_2^2 & \ldots\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{bmatrix} = \prod_{i<j} (x_j - x_i)$, se usa en interpolación polinómica, análisis numérico, y geometría algebraica.
Key Insight
Piensa en el determinante $2\times 2$ como el área del paralelogramo formado por los dos vectores fila: si esa área es $0$, los vectores son paralelos y la transformación aplasta el plano a una línea, y de manera más general $|\det(A)|$ mide cómo se escalan los volúmenes mientras que el signo indica la orientación, con $\det(A) = 0$ significando que la transformación colapsa una dimensión. El signo del determinante es la paridad de la permutación necesaria para ordenar las filas, conectando el álgebra lineal con el grupo simétrico $S_n$, y la propiedad alternante (intercambiar dos filas niega el determinante) codifica si la transformación preserva o invierte la orientación.