导数
dǎo shù
导数衡量函数的瞬时变化率,告诉你图形在任意一点处上升或下降的陡峭程度。
Formula
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
Definition
导数告诉你某个量在某一精确时刻变化的速度有多快；在图形上，它等于曲线在某一点处的陡峭程度（斜率）。严格地说，$f$ 在 $x$ 处的导数是差商的极限，$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$，前提是该极限存在；从几何上看，它是曲线在该点处切线的斜率。若这个极限在 $a$ 处存在，则称 $f$ 在此处可导；可导蕴含连续，但反之不然，而在更高维度中，导数推广为偏导数组成的雅可比矩阵。
Example
如果你的位置由 $x(t) = t^2$ 英里（$t$ 小时后）描述，那么在 $t = 3$ 小时时你的速度（导数）是 $6$ 英里/小时，图形在那里更陡峭。从定义出发计算，$f(x) = x^3$ 给出 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2$。并非每个连续函数都可导：$f(x) = |x|$ 处处连续，但在 $x = 0$ 处不可导，因为左导数是 $-1$ 而右导数是 $+1$。
Key Insight
每次你看车速表，看到的就是一个导数，即距离变化的瞬时速率；如果 $f$ 表示位置，那么 $f'$ 就是速度，而 $f''$ 就是加速度。可导性是比连续性严格更强的条件：魏尔斯特拉斯函数处处连续却处处不可导，这个结果在19世纪震惊了数学界。