Derivada
La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función, indicando qué tan pronunciada sube o baja la gráfica en cualquier punto.
Formula
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
Definition
La derivada indica qué tan rápido cambia algo en un instante exacto; en una gráfica, equivale a la pendiente (inclinación) de la curva en un solo punto. Formalmente, la derivada de $f$ en $x$ es el límite del cociente diferencial, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, siempre que el límite exista, y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. $f$ es diferenciable en $a$ si este límite existe ahí; la diferenciabilidad implica continuidad, pero no al revés, y en dimensiones superiores la derivada se generaliza a la matriz Jacobiana de derivadas parciales.
Example
Si tu posición se describe por $x(t) = t^2$ millas después de $t$ horas, tu velocidad (derivada) en $t = 3$ horas es $6$ mph, y la gráfica es más empinada ahí. Trabajando desde la definición, $f(x) = x^3$ da $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2$. No toda función continua es diferenciable: $f(x) = |x|$ es continua en todas partes pero no diferenciable en $x = 0$, ya que la derivada por la izquierda es $-1$ y la derivada por la derecha es $+1$.
Key Insight
Cada vez que lees un velocímetro, estás leyendo una derivada, la tasa instantánea a la que cambia la distancia; si $f$ da la posición, $f'$ da la velocidad, y $f''$ da la aceleración. La diferenciabilidad es una condición estrictamente más fuerte que la continuidad: la función de Weierstrass es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna, un resultado que sorprendió a los matemáticos del siglo XIX.