相关方程组
xiāng guān fāng chéng zǔ
相关方程组有无穷多个解，因为各方程表示的是同一条直线，直线上每一点都是解。
Definition
相关方程组有无穷多个解，因为它的各个方程化简后其实是同一个方程的伪装形式，最终归结为同一条直线；满足其中一个方程的每一个点也都满足另一个方程。用代数方法求解时，相关方程组会得到一个恒真的陈述，例如 $0 = 0$，而不是唯一的值，其二元解集可以用参数形式描述：令 $x = t$，$y$ 就表示为 $t$ 的某个表达式，对任意实数 $t$ 都成立。严格地说，相关方程组满足 $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) < n$ 且相容，所以解空间是维数为 $n - \text{rank}(A)$ 的仿射子空间；通解为 $x = x_p + x_h$，其中 $x_p$ 是任意一个特解，$x_h$ 位于 $A$ 的零空间中。
Example
$x + y = 4$ 与 $2x + 2y = 8$ 是同一条直线（后者只是前者的两倍），有无穷多个解，例如 $(0,4)$、$(1,3)$、$(2,2)$。把 $4x - 2y = 6$ 乘以 $-3/2$ 恰好得到 $-6x + 3y = -9$，说明这两个方程描述的是同一条直线，解为满足 $y = 2x - 3$ 的任意一点。对 $A = [[2,-1],[4,-2]]$，$b = [[3],[6]]$ 而言，$\text{rank}(A) = 1$；零空间由 $(1, 2)$ 张成，取特解 $x_p = (3/2, 0)$，通解为 $(3/2 + t, 2t)$，对任意 $t$ 均成立。
Key Insight
"相关"意味着一个方程依赖于另一个，它们携带着相同的信息，所以两个说着同一件事的方程，实际上就相当于只有一个。这种冗余在数据科学中表现为多重共线性：当自变量之间存在线性关系时，就无法得到唯一确定的参数估计。