Sistema Dependiente
Un sistema de ecuaciones dependiente tiene infinitas soluciones porque las ecuaciones representan la misma línea y todo punto de esa línea es una solución.
Definition
Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones porque sus ecuaciones, una vez simplificadas, son en realidad la misma ecuación disfrazada, reduciéndose a la misma línea; todo punto que satisface una ecuación satisface ambas. Resuelto algebraicamente, un sistema dependiente produce un enunciado verdadero como $0 = 0$ en lugar de un valor único, y su conjunto de soluciones en dos variables puede describirse paramétricamente, haciendo $x = t$ se obtiene $y$ como alguna expresión en $t$, para cualquier número real $t$. Formalmente, un sistema dependiente es consistente con $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) < n$, así que el espacio de soluciones es un subespacio afín de dimensión $n - \text{rank}(A)$; la solución general es $x = x_p + x_h$, donde $x_p$ es cualquier solución particular y $x_h$ está en el espacio nulo de $A$.
Example
$x + y = 4$ y $2x + 2y = 8$ son la misma línea (la segunda es simplemente la primera duplicada), dando infinitas soluciones como $(0,4)$, $(1,3)$, $(2,2)$. Multiplicar $4x - 2y = 6$ por $-3/2$ da exactamente $-6x + 3y = -9$, mostrando que las dos ecuaciones describen la misma línea, con soluciones en cualquier punto donde $y = 2x - 3$. Para $A = [[2,-1],[4,-2]]$, $b = [[3],[6]]$, $\text{rank}(A) = 1$; el espacio nulo está generado por $(1, 2)$, y con solución particular $x_p = (3/2, 0)$, la solución general es $(3/2 + t, 2t)$ para cualquier $t$.
Key Insight
"Dependiente" significa que una ecuación depende de la otra, ambas llevan la misma información, así que tener dos ecuaciones que dicen lo mismo es como tener solo una. Esta redundancia aparece en la ciencia de datos como multicolinealidad, donde las variables predictoras están relacionadas linealmente, haciendo imposibles las estimaciones únicas de los parámetros.