相依事件
xiāng yī shì jiàn
相依事件是指一个事件的结果会影响另一个事件发生概率的事件。
Formula
P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B|A)
Definition
相依事件是指先发生的事情会改变接下来发生的事情的概率：一个事件会影响另一个事件。如果 $P(A \text{ and } B) \neq P(A)P(B)$，即 $P(B|A) \neq P(B)$，则事件 $A$ 和 $B$ 是相依的，相依事件的乘法规则是 $P(A \text{ and } B) = P(A)P(B|A)$。形式上，相依性等价于 $\text{Cov}(\mathbb{1}_A, \mathbb{1}_B) \neq 0$，其中 $\mathbb{1}_A$ 是 $A$ 的指示函数；条件概率 $P(B|A) = P(A \cap B)/P(A)$ 反映了给定 $A$ 后 $B$ 的更新概率，多元分布中的相依结构由连接函数（copula）刻画。
Example
不放回地抽两张牌：如果第一次抽到国王，那么剩下的 $51$ 张牌中只有 $3$ 张国王了，所以第一次抽取影响了第二次抽取的概率。一个袋子里有 $5$ 个红色和 $3$ 个蓝色弹珠，$P(\text{red first}) = 5/8$；取走一个红色弹珠后，$P(\text{red second} \mid \text{red first}) = 4/7$，所以 $P(\text{both red}) = 5/8 \times 4/7 = 5/14$。从有限总体中不放回地抽样会产生相依事件：对于有 $K$ 个成功项的 $N$ 个总体，不放回地抽取 $n$ 次服从超几何分布，$P(X=k) = \binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}/\binom{N}{n}$，这与二项分布（有放回抽样/独立）不同。
Key Insight
不放回抽样总是产生相依事件，而有放回抽样产生独立事件；许多现实世界中的事件都是相依的，例如今天和明天的天气、医学检测结果与疾病的存在，或连续几天的股票收益，因此识别相依性对正确计算概率至关重要。马尔可夫链对一种特殊形式的相依性建模：未来只取决于当前状态，而不取决于完整的历史，$P(X_{n+1} \mid X_n, X_{n-1}, \ldots) = P(X_{n+1} \mid X_n)$，这使得对许多现实世界相依过程的可处理分析成为可能。