Eventos Dependientes
Los eventos dependientes son eventos en los que el resultado de uno afecta la probabilidad del otro.
Formula
P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B|A)
Definition
Los eventos dependientes son eventos donde lo que sucede primero cambia la probabilidad de lo que sucede después: un evento afecta al otro. Los eventos $A$ y $B$ son dependientes si $P(A \text{ and } B) \neq P(A)P(B)$, lo que significa $P(B|A) \neq P(B)$, y la regla de multiplicación para eventos dependientes es $P(A \text{ and } B) = P(A)P(B|A)$. Formalmente, la dependencia es equivalente a $\text{Cov}(\mathbb{1}_A, \mathbb{1}_B) \neq 0$, donde $\mathbb{1}_A$ es la función indicadora de $A$; la probabilidad condicional $P(B|A) = P(A \cap B)/P(A)$ capta la probabilidad actualizada de $B$ dado $A$, y las estructuras de dependencia en distribuciones multivariadas son captadas por las cópulas.
Example
Sacar dos cartas sin reemplazar la primera: si sacas un rey primero, ahora solo quedan $3$ reyes en las $51$ cartas restantes, así que la primera extracción afectó la probabilidad de la segunda. Una bolsa con $5$ canicas rojas y $3$ azules tiene $P(\text{red first}) = 5/8$; después de remover una canica roja, $P(\text{red second} \mid \text{red first}) = 4/7$, así que $P(\text{both red}) = 5/8 \times 4/7 = 5/14$. Muestrear sin reemplazo de una población finita crea eventos dependientes: para una población de $N$ elementos con $K$ éxitos, sacar $n$ veces sin reemplazo sigue una distribución hipergeométrica, $P(X=k) = \binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}/\binom{N}{n}$, que difiere de la binomial (muestreo con reemplazo/independencia).
Key Insight
Sacar sin reemplazo siempre crea eventos dependientes, mientras que sacar con reemplazo crea eventos independientes; muchos eventos del mundo real son dependientes, como el clima de hoy y de mañana, los resultados de pruebas médicas y la presencia de enfermedad, o los rendimientos de acciones en días consecutivos, así que reconocer la dependencia es crucial para cálculos de probabilidad correctos. Las cadenas de Markov modelan una forma especial de dependencia donde el futuro depende solo del estado presente, no de toda la historia, $P(X_{n+1} \mid X_n, X_{n-1}, \ldots) = P(X_{n+1} \mid X_n)$, permitiendo el análisis manejable de muchos procesos dependientes del mundo real.