Definition

多项式的次数是它最大的指数：系数非零的那一项中变量的最大指数（单独的常数，如 $8$，次数为 $0$，可看作 $8x^0$）。对多元多项式而言，每一项的次数是该项中所有变量指数之和，多项式的次数则是其中最大的那个和。次数决定了端点行为：$1$ 次多项式的图像是一条直线，$2$ 次是 U 形抛物线，偶数次多项式图像的两端指向同一方向，奇数次多项式的两端指向相反方向。严格地说，次数函数 $\deg: F[x] \to \mathbb{Z}_{\ge 0} \cup \{-\infty\}$（其中 $\deg(0) = -\infty$）满足 $\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)$ 及 $\deg(f+g) \le \max(\deg(f), \deg(g))$，这使 $F[x]$ 成为一个分次环，而且它限定了根的个数：非零的 $n$ 次多项式在任意域中至多有 $n$ 个根，在代数闭域中恰好有 $n$ 个。