Definition

El grado de un polinomio es su exponente más grande: el mayor exponente de la variable con coeficiente distinto de cero (una constante sola, como $8$, tiene grado $0$, pensada como $8x^0$). Para un polinomio en varias variables, el grado de cada término es la suma de todos los exponentes de las variables en ese término, y el grado del polinomio es la mayor de esas sumas. El grado controla el comportamiento en los extremos: el grado $1$ grafica una línea recta, el grado $2$ una parábola en forma de U, los grados pares envían ambos extremos de la gráfica en la misma dirección, y los grados impares envían los extremos en direcciones opuestas. Formalmente, la función de grado $\deg: F[x] \to \mathbb{Z}_{\ge 0} \cup \{-\infty\}$ (con $\deg(0) = -\infty$) satisface $\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)$ y $\deg(f+g) \le \max(\deg(f), \deg(g))$, convirtiendo a $F[x]$ en un anillo graduado, y acota el número de raíces: un polinomio distinto de cero de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces en cualquier cuerpo, exactamente $n$ en uno algebraicamente cerrado.