定积分
dìng jī fēn
定积分计算的是函数与 x 轴之间在特定区间 [a, b] 上的确切净面积。
Formula
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Definition
定积分求出曲线与 x 轴之间从 $x = a$ 到 $x = b$ 这一特定区间内的确切净面积，答案是一个具体的数，而不是一族函数。它等于 $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$，其中 $F$ 是 $f$ 的任意一个原函数（由微积分基本定理），$x$ 轴下方的面积计为负值，因此它是"净带符号面积"。更严格地说，它是黎曼和当分割的模趋于 $0$ 时的极限，前提是该极限存在且与分割方式无关；勒贝格积分借助测度论，把这一概念扩展到更广泛的一类函数。
Example
$\int_0^3 2x\, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$，这是 $y = 2x$ 从 $0$ 到 $3$ 之间下方三角形区域的面积。带符号的面积很重要：$\int_0^\pi \sin(x)\, dx = [-\cos(x)]_0^\pi = 1 + 1 = 2$。狄利克雷函数（有理数处取 $1$，无理数处取 $0$）不是黎曼可积的，但却是勒贝格可积的，在 $[0,1]$ 上积分值为 $0$，因为有理数的测度为零。
Key Insight
与给出一族函数的不定积分不同，定积分给出一个代表实际面积的具体数字，微积分基本定理把它从和的极限变成了简单的减法，使精确计算变得可行。转而使用勒贝格积分能解决黎曼积分无法处理的收敛定理（控制收敛定理、单调收敛定理），构成了现代概率论与泛函分析的基础。