Integral Definida
Una integral definida calcula el área neta exacta entre una función y el eje x en un intervalo específico [a, b].
Formula
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
Definition
Una integral definida encuentra el área neta exacta entre una curva y el eje x en un tramo específico de $x = a$ a $x = b$, dando un solo número como respuesta en lugar de una familia de funciones. Es igual a $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$ (por el Teorema Fundamental del Cálculo); las áreas debajo del eje $x$ cuentan como negativas, haciendo de ella el "área neta con signo." De forma más rigurosa, es el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de la partición se acerca a $0$, siempre que el límite exista independientemente de la elección de partición; la integral de Lebesgue extiende esto a una clase más amplia de funciones usando la teoría de la medida.
Example
$\int_0^3 2x\, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$, el área de la región triangular bajo $y = 2x$ de $0$ a $3$. El área con signo importa: $\int_0^\pi \sin(x)\, dx = [-\cos(x)]_0^\pi = 1 + 1 = 2$. La función de Dirichlet ($1$ en los racionales, $0$ en los irracionales) no es integrable Riemann pero sí integrable Lebesgue, con integral $= 0$ en $[0,1]$ ya que los racionales tienen medida cero.
Key Insight
A diferencia de la integral indefinida, que da una familia de funciones, la integral definida da un solo número que representa un área real, y el Teorema Fundamental la convierte de un límite de sumas en una simple resta, haciendo que el cálculo exacto sea manejable. Pasar a la integración de Lebesgue resuelve teoremas de convergencia (Convergencia Dominada, Convergencia Monótona) que la integración de Riemann no puede manejar, formando la base de la probabilidad moderna y el análisis funcional.