小数
xiǎo shù
小数是用小数点表示整体中一部分数值的数，其位值基于十的幂。
Definition
小数是含有一个点（小数点）的数；小数点后面的数字表示比$1$小的部分，由于我们的数字系统以十为基础，小数其实就是用十进制简写方式写出来的分数。形式上，小数是实数的十进制位值表示，小数点后每一位数字都表示十分之一的某次幂（十分位、百分位、千分位，以此类推），小数可以是有限小数、循环小数，或非循环无限小数。小数展开是把实数$x$表示为$\sum_{n=-k}^{\infty} a_n \cdot 10^{-n}$，每个$a_n$取自$\{0,1,\ldots,9\}$；对于最简形式的有理数$p/q$，小数能终止当且仅当$q = 2^a \cdot 5^b$，否则会循环，而非循环的无限小数是无理数。
Example
$0.5$与$1/2$（五个十分之一）相同，$0.25$与$1/4$（二十五个百分之一）相同，$\$3.75$表示$3$整美元加上$75$个百分之一美元。更一般地，$3.147 = 3 + 1/10 + 4/100 + 7/1000$，而$0.333\ldots = 1/3$永远循环，$3.14159\ldots = \pi$既不终止也不循环（无理数）。小数$1/7 = 0.142857142857\ldots$的循环节长度为$6$，因为循环块$142857$是一个循环数，它的倍数都是它自身的循环排列。
Key Insight
小数其实是伪装的分数：与其写$3/10$，你可以写$0.3$，小数在计算器上更容易相加，也更容易比较，只需要对齐小数点即可。一个小数是有理数当且仅当它终止或循环，这一优美的事实把分数的算术与十进制表示系统联系起来，也提供了判断有理性的一种实用方法。形式上，小数展开是从$\mathbb{Q}$到关于$1/10$的形式幂级数加法群的群同态；它的核由具有两种小数表示的数组成，例如$0.999\ldots = 1.000\ldots$，这种非唯一性出现在这类二进制式的边界情形中。