圆柱
yuán zhù
圆柱是一种有两个平行圆形底面、由弯曲侧面连接的三维立体图形。
Formula
V = \pi r^2 h; \ SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h
Definition
圆柱是一种三维图形，有两个平行、全等的圆形底面，由垂直于底面的曲面侧面连接，就像一罐汤或一卷纸巾；体积 $V = \pi r^2 h$，总表面积 $SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$，侧面展开后形成一个宽 $2\pi r$、高 $h$ 的矩形。严格地说，直圆柱是把一个矩形绕其一边旋转所得到的旋转体，等价于圆盘 $D(r)$ 与区间 $[0,h]$ 的乘积；通过积分，$$V = \int_0^h \pi r^2 \, dz = \pi r^2 h.$$
Example
一个半径 $4$ cm、高 $10$ cm 的罐头，体积为 $\pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi = 502.7$ cm$^3$，标签包在外面构成侧面积。一个直径 $2$ m、高 $5$ m（$r = 1$ m）的圆柱形水箱，$V = \pi(1)^2(5) = 5\pi = 15.71$ m$^3$，$SA = 2\pi(1)(1+5) = 12\pi = 37.7$ m$^2$。帕普斯形心定理指出，旋转体的表面积等于 $2\pi$ 乘以生成曲线的形心到旋转轴的距离，再乘以曲线长度；对圆柱而言，这给出 $LSA = 2\pi r(h) = 2\pi r h$。
Key Insight
圆柱就像被拉伸成三维的圆：每个平行于底面的水平切片都是半径相同的圆，这就是为什么体积 = 圆面积 $\times$ 高，把圆柱看作以圆为底的棱柱。在体积固定的情况下，使总表面积最小的圆柱满足 $h = 2r$（高等于直径），这就是为什么许多罐头的高度大致等于它们的宽度。帕普斯定理优雅地统一了所有旋转体的表面积和体积公式。