Cilindro
Un cilindro es un sólido 3D con dos bases circulares paralelas unidas por una superficie lateral curva.
Formula
V = \pi r^2 h; \ SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h
Definition
Un cilindro es una figura 3D con dos bases circulares paralelas y congruentes conectadas por una superficie lateral curva perpendicular a las bases, como una lata de sopa o un rollo de toallas de papel; volumen $V = \pi r^2 h$ y área de superficie total $SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r(r + h)$, con la superficie lateral, al desenrollarse, formando un rectángulo de ancho $2\pi r$ y altura $h$. Formalmente, un cilindro circular recto es el sólido de revolución obtenido al rotar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, o equivalentemente el producto de un disco $D(r)$ con un intervalo $[0,h]$; por integración, $$V = \int_0^h \pi r^2 \, dz = \pi r^2 h.$$
Example
Una lata con radio $4$ cm y altura $10$ cm tiene volumen $\pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi = 502.7$ cm$^3$, con la etiqueta envuelta alrededor del exterior formando el área de superficie lateral. Un tanque cilíndrico con diámetro $2$ m y altura $5$ m ($r = 1$ m) tiene $V = \pi(1)^2(5) = 5\pi = 15.71$ m$^3$ y $SA = 2\pi(1)(1+5) = 12\pi = 37.7$ m$^2$. El teorema del centroide de Pappus establece que el área de superficie de un sólido de revolución es $2\pi$ multiplicado por la distancia del centroide de la curva generadora al eje de rotación, multiplicado por la longitud de la curva; para un cilindro esto da $LSA = 2\pi r(h) = 2\pi r h$.
Key Insight
Un cilindro es como un círculo estirado a 3D: cada rebanada horizontal paralela a la base es un círculo con el mismo radio, razón por la cual volumen = área del círculo $\times$ altura, tratando a un cilindro como un prisma con un círculo como base. Para un volumen fijo, el cilindro que minimiza el área de superficie total tiene $h = 2r$ (altura igual al diámetro), razón por la cual muchas latas son aproximadamente tan altas como anchas. El teorema de Pappus unifica elegantemente las fórmulas de área de superficie y volumen para todos los sólidos de revolución.